Escribir un vector como combinación lineal de otro

Expresa el vector x como una combinación lineal de u1 y u2

& ={ \left [{\left [x\right ]}_{1}{A}_{1}{right ]}_{i} + {{Izquierda [x\a derecha ]}_{2}{A}{2}{directo ]}_{i} + {{Izquierda [x\\right ]}_{3}{A}{3}{right ]}_{i} + \mathrel{⋯} +{{Izquierda [x\\a ]}_{n}{A}_{n}{directo ]}_{i} & &{texto}{@(a

& ={ izquierda [x\ derecha ]}_{1}{ izquierda [{A}_1}{ derecha ]}_{i} + { {Izquierda [x\right ]}_{2} {Izquierda [{A}_2}{right ]}_{i} + {{Izquierda [x\right ]}_{3} {{Izquierda [{A}_3} {{Derecho ]}_{i} + \mathrel{⋯} +{{Izquierda [x\\ derecha ]}{{Izquierda [{A}_{n}{derecha ]}_{i} & &\text{@(a

& = {Izquierda [x\\ derecha ]}_{1}{Izquierda [{A}{1}{dirección ]}_{i} + { {Izquierda [x\right ]}_{2} {Izquierda [{A}_2}{right ]}_{i} + {{Izquierda [x\right ]}_{3} {{Izquierda [{A}_3} {{Derecho ]}_{i} + \mathrel{⋯} +{{Izquierda [x\\ derecha ]}{{Izquierda [{A}_{n}{derecha ]}_{i} & &\text{@(a

& ={ izquierda [x\\ derecha ]}_{1}{A}{1}{punto}{punto}{punto}{punto}{punto}{punto}{punto}{punto}{punto}{punto}{punto}{punto}{punto}{punto} + {{Izquierda [x\\a derecha ]}_{2}{A}{2}{directo ]}_{i} + {{Izquierda [x\\right ]}_{3}{A}{3}{right ]}_{i} + \mathrel{⋯} +{{left [{\left [x\right ]}_{n}{A}_{n}{right ]}_{i} & &\text{@(a

S = \left \\left .c + {α}_1}{u}_{1} + {α}_{2}{c}{2} + {α}_{3}{c}{3} + \mathrel{⋯} + {α}_{n-r}{u}_{n-r} {a}{1},{a}{kern} 1,95872pt {α}{2},{a}{kern} 1,95872pt {α}{3},{a}{kern} 1,95872pt {mathop{a},{a}{kern} 1,95872pt {α}{n-r} ∈ {ℂ}^{a}{a}}

Escribe el vector como una combinación lineal de los vectores unitarios estándar i y j

En el centro de muchas ideas del álgebra lineal está el concepto de combinación lineal de vectores. Para construir una combinación lineal a partir de un conjunto de vectores \(\{V_1, V_2, V_3, … V_n\}\) utilizamos las dos operaciones algebraicas de suma y multiplicación escalar. Si utilizamos los símbolos \(a_1, a_2, …, a_n\) para representar los escalares, la combinación lineal tiene el siguiente aspecto.

La conexión con las combinaciones lineales queda ahora clara si consideramos las columnas de la matriz de coeficientes como vectores. Encontrar la solución del sistema lineal de ecuaciones es equivalente a encontrar la combinación lineal de estos vectores columna que coincide con el vector en el lado derecho de la ecuación.

Dada la conexión directa entre los sistemas lineales y las combinaciones lineales de vectores, entendemos que cuando intentamos determinar si un sistema lineal dado tiene solución, en realidad estamos intentando determinar si un vector dado, digamos \(B\), es una combinación lineal de algún conjunto de vectores \(\{V_1, V_2, V_3, … V_n\}\). Haciendo uso de la nueva terminología, podríamos decir que estamos tratando de determinar si \(B\) está en el lapso de \(\ {V_1, V_2, V_3, … V_n\}\).

Cómo expresar un vector como combinación lineal de otros vectores

A lo largo de las últimas lecciones hemos estudiado la notación de las matrices, hemos trabajado con sistemas de ecuaciones lineales y hemos aprendido a representarlos y a resolverlos, ya sea mediante gráficas o mediante la reducción de filas de la matriz. Ha llegado el momento de conocer el uso de dichas notaciones y técnicas cuando trabajamos con combinaciones lineales y vectores, y por ello, vamos a hacer una pequeña introducción sobre la notación de vectores en forma matricial y las dimensiones del plano de dichos vectores antes de entrar en el tema principal de hoy.

El vector columna se dice que está en el espacio de coordenadas R2R^{2}R2 ya que tiene dos filas de números reales, esto significa que el vector tiene dos dimensiones y su representación gráfica estaría en un plano bidimensional. También podemos tener un vector en R3R^{3}R3 que podría ser un vector tridimensional como el de abajo:

En realidad se puede tener un vector columna con tantas filas como se quiera, y así, decimos que un vector está en el espacio de coordenadas o vectorial RnR^{n}Rn donde n definirá cuántas filas contiene. Podemos resumir que un vector en RnR^{n}Rn tendría n entradas en una columna, como:

Expresar el vector x como una combinación lineal de las us

Ejemplo 1: El vector v = (-7, -6) es una combinación lineal de los vectores v1 = (-2, 3) y v2 = (1, 4), ya que v = 2 v1 – 3 v2. El vector cero también es una combinación lineal de v1 y v2, ya que 0 = 0 v1 + 0 v2. De hecho, es fácil ver que el vector cero en R n es siempre una combinación lineal de cualquier colección de vectores v1, v2,…, vr de Rn.

Ejemplo 2: El ámbito del conjunto {(2, 5, 3), (1, 1, 1)} es el subespacio de R 3 formado por todas las combinaciones lineales de los vectores v 1 = (2, 5, 3) y v 2 = (1, 1, 1). Esto define un plano en R 3. Como un vector normal a este plano en n = v 1 x v 2 = (2, 1, -3), la ecuación de este plano tiene la forma 2 x + y – 3 z = d para alguna constante d. Como el plano debe contener el origen -es un subespacio- d debe ser 0. Éste es el plano del ejemplo 7.

Es decir, si alguno de los vectores de una colección dada es una combinación lineal de los otros, entonces se puede descartar sin afectar al tramo. Por lo tanto, para llegar al conjunto de extensión más «eficiente», hay que buscar y eliminar cualquier vector que dependa de (es decir, que pueda escribirse como una combinación lineal de) los demás.