Generar todas las combinaciones posibles
En matemáticas, una combinación es una selección de elementos de un conjunto que tiene miembros distintos, de manera que el orden de selección no importa (a diferencia de las permutaciones). Por ejemplo, dadas tres frutas, digamos una manzana, una naranja y una pera, hay tres combinaciones de dos que pueden extraerse de este conjunto: una manzana y una pera; una manzana y una naranja; o una pera y una naranja. Más formalmente, una k-combinación de un conjunto S es un subconjunto de k elementos distintos de S. Así, dos combinaciones son idénticas si y sólo si cada combinación tiene los mismos miembros. (Si el conjunto tiene n elementos, el número de k-combinaciones, que se denomina
Una combinación es una combinación de n cosas tomadas k a la vez sin repetición. Para referirse a las combinaciones en las que se permite la repetición, se suelen utilizar los términos k-selección,[2] k-multiset,[3] o k-combinación con repetición[4] Si, en el ejemplo anterior, fuera posible tener dos de cualquier tipo de fruta, habría otras 3 k-selecciones: una con dos manzanas, otra con dos naranjas y otra con dos peras.
Combinaciones de fórmulas sin repetición
Las permutaciones y combinaciones tienen usos en las clases de matemáticas y en la vida cotidiana. Afortunadamente, son fáciles de calcular una vez que se sabe cómo hacerlo. A diferencia de las permutaciones, en las que el orden de los grupos es importante, en las combinaciones el orden no importa[1].
Las combinaciones te indican cuántas formas hay de combinar un número determinado de elementos de un grupo. Para calcular las combinaciones, sólo tienes que saber el número de elementos entre los que vas a elegir, el número de elementos a elegir y si se permite o no la repetición (en la forma más común de este problema, no se permite la repetición).
Combinación con fórmula de sustitución
Supongamos que estamos interesados en calcular el número de combinaciones sin repetición de 4 números de los sistemas decimales (números del 0 al 9) que son posibles. Utilicemos la fórmula de combinaciones sin repetición para conocer la respuesta. Sigue estos pasos:
Las combinaciones posibles sin repeticiones C(n,r) es una porque el número total de objetos n (dieciséis dígitos) es igual a nuestro tamaño de muestra r (los dieciséis dígitos que vamos a ordenar). En otras palabras, C(n,r) = 1 porque n = r.
El número de combinaciones posibles sin repeticiones es igual a uno porque el número total de objetos n (cinco números) es igual a nuestro tamaño de muestra r (los cinco dígitos que vamos a ordenar). En otras palabras, si n = r, entonces C(n,r) = 1.
Combinaciones de Java sin repetición
Las permutaciones incluyen todos los arreglos diferentes, por lo que decimos que «el orden importa» y que hay \(P(20,3)\) maneras de elegir \(3\) personas de \(20\) para ser presidente, vicepresidente y conserje. Steve, Ahmet, Liz (SAL) v.s Liz, Ahmet, Steve (LAS) son dos arreglos diferentes.
Para las combinaciones, elegimos a \(3\) personas de \(20\) para obtener un sobresaliente en el curso, así que el orden no importa. Esto es «\(20\) eligen \(3\)», el número de conjuntos de 3 donde el orden no importa. SAL y LAS son el mismo arreglo. Esta es \(\binom{20}{3}\N-).
Ahora pasamos a las combinaciones con repeticiones. Aquí estamos eligiendo \(3\) personas de \(20\) estudiantes discretos, pero permitimos que haya personas repetidas. Son combinaciones, por lo que SAL y LAS siguen siendo la misma elección, pero tenemos otras opciones distintas como LLA, SSS, WAW, SWW, ¡y muchas más!
Determina el número de formas de elegir 3 bolsitas de té para poner en la tetera. Tienes 100 de cada uno de estos seis tipos de té: Té negro, Manzanilla, Earl Grey, Verde, Jazmín y Rosa. (Esencialmente tienes un número ilimitado de cada tipo de té). Puedes repetir los tipos de té.